Departamento de Matemática

ID: 8851

Resumo

Neste trabalho estudamos a Teoria das Valorizações, tendo como objetivo relacioná-la com os principais conceitos da Teoria de Corpos e da Teoria de Galois, dando então os primeiros passos em direção à área de estudo conhecido como Teoria de Ramificação de Valorizações.   O método de estudo foi por meio de pesquisa de cunho bibliográfico por parte do aplicante e discussões regulares com o orientador para tratar da evolução do projeto. O trabalho resultou em uma monografia sobre o tema. Concluímos que foi um trabalho que acrescentou muito à formação do aluno, tanto com o conhecimento específico da área em que ele pretende se evolver nos estudos futuros de pós-graduação, quanto na solidificação de conceitos gerais importantes que serão ferramentas úteis também em outros contextos matemáticos.

Apresentação

ID: 9434

Resumo

Um dos objetivos principais deste projeto é apresentar os conceitos básicos da Geometria Algébrica, estudando o conteúdo presente no livro Álgebra Comutativa em quatro movimentos: uma introdução à geometria algébrica" de Eduardo Tengan e Herivelto Borges, por meio do estudo de Variedades Algébricas e projetivas e de noções de álgebra comutativa. Ainda dentro do universo das Variedades Algébricas, exploramos exemplos de tais variedades que não sejam suaves, com o propósito de apresentar conceitos básicos da Teoria de Singularidades.

Apresentação

ID: 9281

Resumo

Nesse projeto de Iniciação Científica (IC) são estudados conceitos básicos da Geometria Projetiva, discutindo a Geometria Euclidiana e a Geometria Elíptica através da abordagem da Álgebra Linear. Os principais resultados estudados foram: Teorema fundamental da Geometria Projetiva, Teorema de Pappus e o Teorema de Desargues.

Como metodologia para o desenvolvimento deste trabalho foram utilizados no início encontros semanais com duração aproximada de 2 horas. Esse momento era utilizado para apresentar seminários e sanar as dúvidas e ouvir sugestões do orientador em relação ao conteúdo, desenvolvimento do trabalho e possíveis correções. Porém, durante o contexto de pandemia os estudos foram desenvolvidos de forma mais independente.

Ao estudar os resultados foi notado em como pode-se encontrar a Geometria Projetiva no dia a dia e a forma que ela é vista tanto no cotidiano quanto matematicamente.

Apresentação

ID: 9262

Resumo

Álgebras são objetos matemáticos de estrutura bastante relevante dentro da teoria de anéis e, dentre estes objetos destacamos as álgebras com identidades polinomiais ou PI-álgebras. Uma identidade polinomial de uma álgebra A é um polinômio f(x_1,...,x_n) em variáveis não comutativas que se anula quando avaliado em quaisquer elementos de A. Dizemos que A é uma PI-álgebra quando existe um polinômio não nulo nestas condições. Como exemplos podemos citar as álgebras comutativas, as de dimensão finita e as nilpotentes. Tendo em vista que as identidades polinomiais dizem muito sobre a estrutura de uma álgebra, seu estudo é algo de grande interesse, sendo um amplo campo de pesquisa atual. Neste trabalho apresentamos uma demonstração, devida a Rosset, para o Teorema de Amitsur-Levitzki, o qual afirma que a álgebra M_n(C) das matrizes nxn sobre uma álgebra comutativa C satisfaz a identidade standard de grau 2n, isto é, existe um polinômio com 2n variáveis não comutativas, que se anula para quaisquer elementos da álgebra M_n(C). A compreensão de todos os elementos envolvidos na demonstração permitem a compreensão com maior clareza dos aspectos matemáticos da área, fortalecendo e complementando a formação do estudante.

Apresentação

ID: 9359

Resumo

Este trabalho teve por objetivo o estudo de diferentes construções do conjunto dos números reais; além de conhecer os procedimentos de pesquisa; aperfeiçoamento da linguagem escrita e também a apresentação oral, que são de suma importância para o exercício da docência.

Apresentação

ID: 9098

Resumo

Introdução:O projeto inicial previa o estudo do livro [1] do primeiro ao décimo capítulo. Por sugestão da Comissão Avaliadora do Projeto, readequamos o projeto original para que desenvolvêssemos da seguinte forma:

1. Algumas motivações preliminares: O Teorema de Euler, Equivalências Topológicas,Superfícies, Espaços Abstratos, Um Teorema de classificação, Invariantes topológicos;

2. Continuidade e a construção da Curva de Peano;

3. Compacidade e conexidade;

4. Espaço quociente;

5. O grupo fundamental e aplicações: O Teorema do ponto fixo de Brower e o Teoremada Curva de Jordan.

Foram desenvolvidos os temas 1, 2, 3, 4 e o início do tema 5.

Objetivos: Com esse projeto, esperamos que o aluno assimile os conceitos matemáticos básicos que conduzem não somente ao bom entendimento da Topologia, mas também à diversas áreas da Matemática, bem como introduzir conceitos topológicos relevantes que poderão servir para estudos mais aprofundados posteriormente.

Metodologia: O projeto foi desenvolvido através de seminários semanais com duração de duas horas. A maioria dos seminários foi apresentado pelo aluno e alguns pelo professor.  Nesses seminários foram discutidos os temas propostos, dúvidas surgidas nesses temas e discussão dos exercícios resolvidos pelo aluno. Quase a totalidade dos exercícios, referentes aos temas abordados, propostos em [1] foram resolvidos pelo aluno. Além desses exercícios, o professor propunha outros nos encontros semanais. Estes encontros semanais ocorreram de forma presencial em 2019. Em 2020, com a necessidade de isolamento social, por conta da pandemia do covid-19, os encontros semanais foram realizados através do google-meet.

Resultados: Fizemos o estudo das motivações iniciais e contextualizações históricas, partimos para a formalização do conceito de topologia e espaço topológico, conjuntos fechados, vizinhança, ponto de acumulação, conjuntos densos, fronteira de um conjunto e base para topologia. Definimos cobertura de um conjunto, espaço compacto e assim vimos algumas propriedades. Entrando em topologia produto, vimos a definição e alguns teoremas, então verificamos que, o produto dos subespaços topológicos é igual ao subespaço do produto de espaços topológicos. Iniciamos o estudo a respeito dos espaços quocientes construindo a faixa de Möbius como exemplo para então definirmos a topologia quociente. Trabalhamos alguns teoremas, vimos a construção do cone de um espaço topológico e vimos o lema da colagem. Em grupos topológicos vimos quando a estrutura algébrica e a topológica são compatíveis em um espaço Hausdorfi, trabalhamos exemplos, vimos isomorfismo e subgrupos de grupos topológicos, alguns teoremas e então trabalhamos com espaços de órbitas. Por fim, iniciamos grupo fundamental, vendo homotopia.

Conclusões:Avaliamos que o presente projeto, após a readequação mencionada acima, foi realizado com sucesso. Mesmo com o estudo incompleto do item 5 (grupo fundamental eaplicações) todos os outros temas anteriores foram estudados com profundidade e solidificados com a resolução de boa parte dos exercícios, com vários níveis de dificuldade. A ocorrência da pandemia, junto com o isolamento social resultaram na desaceleração no ritmo de estudo, devido às várias readaptações a que todos tivemos de nos submeter. Mesmo assim, julgamos que o rendimento foi bastante satisfatório.

Apresentação

ID: 9198

Resumo

Apresentação